公安机关刑事侦查拘留期间最长为37天，包含公安机关提请检察院批准逮捕的时间和检察院审查批准逮捕的时间。 根据《刑事诉讼法》第89条规定：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。 如果在公安机关刑事侦查阶段和检察院审查起诉阶段均无法办理取保候审的，那么可以继续羁押，最终由法院判决并确定相应的刑罚。